矩阵计算

矩阵计算本质是来源于线性代数的定义，其计算方式是通过行与列的逐项匹配、相乘并求和来生成一个新的矩阵，同时矩阵A的每一行代表一个观测点或者样本，每一列代表每个观测点或样本的不同特征。

矩阵的计算是基于矩阵的形状（维度）进行的，比如矩阵A为m行n列，矩阵B为p行q列，那么只要n = p，则满足矩阵计算的规则，所以矩阵的计算必须要满足被乘矩阵A的列数 = 乘数矩阵B的行数才能进行矩阵计算，同时输出的矩阵的形状也是为m行*q列，即行数来自于左侧矩阵A的行，列数来自于右侧矩阵B的列数。

举例，如下两个矩阵，矩阵A为顾客购买水果的数据，对应一个2*2的矩阵：

矩阵B为水果的单价，对应为一个2*1的列向量：

上述的两个矩阵满组矩阵计算的需求，即A的列数 = B的行数，然后结果为[2,1]的矩阵。

矩阵计算，矩阵乘法的规则是行乘列并逐项求和： $$ \begin{bmatrix} 1 & 3 \newline 2 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \newline 3 \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} 1 \cdot 2 + 3 \cdot 3 \newline 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} 11 \newline 7 \end{bmatrix} $$

上面采用矩阵乘法的方式同样可以使用普通的手动计算：

$$ 顾客1购买金额 = 1 * 2 + 3 * 3 = 11 \newline 顾客2购买金额 = 2 * 2 + 1 * 3 = 7 $$

优势

矩阵计算还是手动计算，本质上都是执行相同的数学运算，如果只是手动计算，那么矩阵计算有两个优点：

1. 描述性强：即用矩阵很简单的可以描述需要做的运算，手动计算每行都需要带入公式，计算量太大了后就非常麻烦。
2. 扩展性强：如果要添加数据，只需要再添加一行即可，如果要添加特征只需要添加一列即可。

如果是计算机计算，则矩阵计算除了上述的两个优点，还有一个非常大的优势是利用CPU或GPU并行计算，矩阵计算是一个高度依赖于底层库的计算，很多科学工具的底层库通过对矩阵计算进行优化，从而能达到将矩阵计算利用CPU或GPU进行快速的并行计算。

这是因为行与列的匹配是天然的并行任何，这是因为每一行的计算是可以完全独立计算的，比如上面的例子来说，可以拆分为两个不同的并行计算任务： $$ Task1: 1 \cdot 2 + 3 \cdot 3 \newline Task2: 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 $$

矩阵逆

在矩阵计算中，并没有除法的概念，所以就用矩阵逆的方式来代替除法，矩阵逆的核心公式记为如下，其中第一个数学符号为A矩阵，第二个数学符号A矩阵逆，第三个数学符号为单位矩阵： $$ A \cdot A^{-1} = I $$

单位矩阵是一个特殊矩阵，内部是一个对角线是1，其余位置为0的一个特殊矩阵，比如下面2X2的单位矩阵： $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \newline 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 再比如下面3X3的单位矩阵表示为： $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \newline 0 & 1 & 0 \newline 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 单位矩阵类似于数字中的1，在矩阵运算中是一个“中性元素”，所以矩阵乘以单位矩阵是不会改变矩阵本身的： $$ 1 \cdot x = x \newline 类似于矩阵中的 \newline A \cdot I = A $$ 而矩阵逆则类似于数字中的倒数，类似如下： $$ 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \newline 类似于矩阵中的 \newline A * A^{-1} = I $$ 那么矩阵逆有什么作用？矩阵逆可以用来解方程，比如矩阵计算，如果矩阵A和B已知 $$ X * A = B $$ 那么解矩阵X则等式为： $$ X = B * A逆 $$ 这里的是用B * A逆，是因为矩阵没有除法，所以A逆相当于数字倒数，利用乘法达到除法的效果，将上面的换成普通的数据方程： $$ x * a = b \newline x = b / a $$ 计算矩阵逆，需要多个步骤，其计算的公式为： $$ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \newline -c & a \end{bmatrix} $$ 其中 $A^{-1}$ 为矩阵逆，$det(A)$为行列式($det(A)\neq0$），后面的矩阵则代表的是矩阵A交换和取负后的矩阵。

比如矩阵A为如下，然后来举例如何计算：

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \newline 3 & 4 \end{bmatrix} $$ 其内部顺序为：

$$ A = \begin{bmatrix} a & b \newline c & d \end{bmatrix} $$

计算行列式

计算行列式det需要注意其结果不能为0，计算公式表达为：

$$ det(A) = ad - bc $$

按照上面的例子计算：

$$ det(A)=2 \cdot 4 - 1 \cdot 3 $$

交换和取负

把原矩阵的a,d互换位置，然后将b,c取负，即得到：

$$ \begin{bmatrix} 4 & -1 \newline -3 & 2 \end{bmatrix} $$

除以行列式

集合上面的计算结果，然后计算矩阵逆，因为矩阵中没有除法，所以每个矩阵元素都乘以：

$$ A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 4 & -1 \newline -3 & 2 \end{bmatrix} $$ 上面进一步计算等于：

$$ \begin{bmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \newline -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix} $$

结果为：

$$ A^{-1} = \begin{bmatrix} 0.8 & -0.2 \newline -0.6 & 0.4 \end{bmatrix} $$

结果检验

因为在最早提到了矩阵的逆计算是符合如下公式的：

$$ A \cdot A^{-1} = I $$

而其中的I为单位矩阵的一种特殊矩阵，其形式表现为对角线全为1，其余全部为0，所以可以通过计算矩阵乘以矩阵逆来检验结果：

$$ \begin{bmatrix} 2 & 1 \newline 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0.8 & -0.2 \newline -0.6 & 0.4 \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \newline 0 & 1 \end{bmatrix} $$